Función biyectiva

La noción de una función es fundamentalmente importante en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, por lo que es importante aprender algunas definiciones básicas con respecto a las funciones. Una función biyectiva es una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva. Esta función también es conocida con el nombre de función uno-a-uno, y es importante hacer la distinción de que nunca asigna dos elementos en su dominio al mismo elemento en su rango.

Temas relacionados

Función inyectiva, función sobreyectiva

¿Qué es la función biyectiva?

La función biyectiva es una función que al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva, lo que quiere decir que si todos los elementos del producto final Y tienen un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde la condición de función sobreyectiva.

Definición

Podemos definir o decir que una función es biyectiva si esta misma función al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Esto quiere decir, si todo elemento que existe en el conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde y a lo que se conoce con el nombre de condición de función sobreyectiva y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y, que es lo que conocemos con el nombre de condición de función inyectiva.

Otra definición que podemos dar del término es que una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen distinta en el conjunto de llegada, y cada elemento del conjunto de llegada corresponde a un elemento del conjunto de partida. Teóricamente podemos decir que es una función biyectiva si: para todo y de Y, existe un único x de X tal que f (x) = y

Debemos de recordar en todo momento que, en una función, cualquiera que sea, siempre se debe de tener un conjunto de partida o dominio, un conjunto de llegada o contra dominio, y por último un rango.

Propiedades de la función biyectiva

Cardinalidad: Cuando dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos, al menos una forma de asociar cada elemento del primer conjunto don un elemento del segundo. De esta forma, no sobra ningún elemento en ninguno de los conjuntos. Esta asociación que se puede realizar entre los conjuntos con la misma cantidad de elementos se llama cardinalidad de la función biyectiva.

Una asociación es biyectiva cuando a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento del segundo conjunto sin que haya elementos que sobren en ninguno de los conjuntos. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se puede establecer una función biyectiva entre ellos.

Biyectividad: Una función f: A→B es biyectiva y también puede ser sobreyectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto B (sobreyectividad) tienen que estar relacionados con uno y solo un elemento del conjunto A (inyectividad). Cuando hay biyectividad se puede encontrar una regla que reproduzca las evoluciones del autómata de forma inversa.

Ejemplos de la función biyectiva

En un salón encontramos un determinado número de asientos. Un grupo de espectadores ingresa en el salón y el expositor les pide a todos que tomen asiento. Posteriormente de realizar una rápida observación del salón, el expositr declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de espectadores y la cantidad de asientos que hay en el lugar, donde cada espectador esta emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

• Todos los espectadores se encontraban sentados en sus sillas y nadie estaba de pie.
• Ninguno de los espectadores se encontraba sentado en más de un asiento.
• Cada asiento estaba ocupado y no había asientos vacíos.
• Ningún asiento estaba ocupado por más de un espectador.

El profesor, por medio de su observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de espectadores, sin tener que contar la cantidad de asientos.