Lógica proposicional

La lógica es una ciencia que se encarga de estudiar las diferentes formas del pensamiento y cómo éstas se encuentran estructuradas para luego poder establecer una serie de leyes y de principios que sean válidos para así obtener criterios de verdad. En caso de las matemáticas, la lógica proposicional se refiere a el uso de diferentes símbolos por medio de tablas de verdad que nos pueden indicar lo que es falso o verdadero.

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¿Qué es la lógica proposicional?

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que se encarga de analizar y estudiar las diferentes variables proposicionales o la sentencias lógicas así como sus posibles implicaciones, evaluaciones relacionadas con la verdad y el nivel absoluto de la misma.

Definición

La lógica proposicional es considerada como la parte más importante de la lógica pues es la encargada de determinar las diferentes condiciones de validez que tienen los razonamientos viendo a estos últimos como unidades de análisis a las proposiciones o enunciados que se han realizado. Es una ciencia que parte del estudio del razonamiento y que logra descomponerlo en diferentes ideas. Además, estudia las posibles implicaciones que las variables puedan tener, los valores que tienen las proposiciones o los conjuntos que están formados a partir de conectores lógicos.

Características de la lógica proposicional

Entre sus principales características se mencionan las siguientes:

• Es también conocida con el nombre de lógica de enunciados y lógica de las funciones de verdad.
• Se considera como la rama más antigua de la lógica matemática.
• Estudia los diferentes métodos de relaciones que se presentan entre los conectores lógicos y los enlaces.
• Es una ciencia que admite el razonamiento por medio de un instrumento que se encarga de evaluar primeramente los problemas simples y luego los más complejos.
• Se considera como un tipo de lenguaje simbólico que estudian los razonamientos del lenguaje natural.
• Cuenta con un alfabeto, una sintaxis y una semántica
• Solamente traduce el mensaje simbólico que se encuentra en las oraciones con un lenguaje natural y en un sentido completo.
• Los enunciados que forman parte de la lógica proposicional deberán ser verdaderos o falsos.

Historia

La historia y la evolución de todos los aspectos relacionados con la lógica se encuentran intrínsecamente unidos a la evolución intelectual del hombre pues al ser una ciencia del razonamiento representa al mismo tiempo la historia del ser humano. Podemos decide entonces que la lógica nació desde el momento en que el hombre tuvo que pensar para hacerle frente a la naturaleza y así poder sobrevivir.

Se considera que la lógica proposicional había ya sido pensada por los filósofos de la antigüedad pero fue desarrollada como un tipo de lógica formal gracias a Chrysippus, en el siglo III a.C. Posteriormente, logró ser ampliada y mejorada gracias a Stoics. En ese momento, fue una lógica que se concentró principalmente en las proposiciones pero poco a poco fue avanzando y mejorando incluyendo los términos. La lógica proposicional mejoró notablemente cuando también se mezcló con la lógica simbólica, esto gracias a Gottfried Leibniz, reconocido matemático del siglo XVI/XVIII.

Para qué sirve la lógica proposicional

Por medio de la lógica proposicional se hace posible el validar o no todas las afirmaciones que se hacen en las diferentes ramas del conocimiento o en el campo de las matemáticas. Con ella, se puede estudiar y entender todas las estructuras que forman parte de la lógica y la manera en que logran validar o no las diferentes proposiciones en el campo de las ciencias. Hace posible que se puedan estudiar y analizar las relaciones y las propiedades de los objetos para luego compararlas entre sí.

Elementos

Los elementos que forman parte de la lógica proposicional se mencionan a continuación.

• Proposiciones o conceptos primitivos: la proposición se refiere a todo tipo de expresión verbal o enunciado del cual se pueda afirmar, sin equivocación, que es verdadero o falso, tomando en cuenta que no pueden ser las dos cosas a la vez. Existen además dos tipos de proposiciones, la anatómica o simple que no tienen confusiones y las moleculares o compuestas que están formadas por proposiciones atómicas que se relacionan por medio de confusiones y términos de enlace.
• Fórmulas lógicas: se conocen también como anexos lógicos y utilizan diferentes términos de enlace.
• Variables: son todos aquellos signos que se utilizan para poder referirse a un determinado denunciado o a una proposición. Son los que se encarguen entonces de representar afirmaciones sencillas y como variables se pueden utilizar las letras p, q y r. Son también conocidas con el nombre de fórmulas atómicas porque no permiten ningún tipo de descomposición.
• Paréntesis: esos paréntesis son elementos fundamentales de la lógica proposicional porque son los que tienen la función de poder marcar el orden en el que se deben de realizar las diferentes operaciones.
• Operadores lógicos: son una serie de símbolos que hacen posible el construir formaciones complejas y entre ellos encontramos los siguientes:
  • La conjunción: (p∧q = p y q)
  • La disyunción: (p ∨ q = p o q)
  • La implicación: (p→q = Si p, entonces q )
  • La coimplicación: (p ↔ q = Si y sólo si p, entonces q)
  • La negación: (¬ p = No p)

Conectores

Los conectores de la lógica proposicional son:

• Negación: no -> >, ~: Es también llamado como complemento lógico y la negación de una proposición es verdadera cuando la proposición es falsa y viceversa.
• Conjunción Y ∧: se presenta únicamente cuando los componentes de la conjunción son ciertas.
• Disyunción O ∨: será falsa si los dos componentes también son falsos.
• Condicional entonces: cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.
• Bicondicional ⇔ si solo sí: es un operador que funciona sobre dos valores de verdad las cuales por lo general son dos proposiciones devolviéndole el valor de verdad en el momento en que ambas proposiciones tienen el mismo valor.

Propiedades

La lógica proposicional tiene varias propiedades:

• Es satisfacible cuando existe una interpretación para la que es verdadera.
• Tiene tautología pues una fórmula proposicional será válida para todas las interpretaciones posibles.
• Tiene contradicción si no existe ninguna interpretación para la que sea verdadera.
• Es contingente, en este caso un enunciado puede ser contingente cuando no es ni una tautología ni una contradicción.

Reglas

Las principales reglas que pueden ser aplicadas a la lógica proposicional se mencionan a continuación:

• Ley de doble negación
• Leyes de idempotencia
• Leyes asociativas
• Leyes conmutativas
• Leyes distributivas
• Leyes de Morgan

Tabla

En la lógica proposicional se utilizan una serie de tablas que se conocen con el nombre de tablas de verdad las cuales se encargan de mostrar el valor de verdad que tiene una proposición compuesta combinación de valores de verdad que puedan ser asignados a sus componentes. Para poder elaborar las es necesario tomar en cuenta los valores verdaderos, los valores falsos, las variables, la negación, confusión y disyunción.

Importancia de la lógica proposicional

La lógica proposicional es importante porque es un medio por el cual se puede llegar a estudiar y analizar la forma del razonamiento. En el caso de las matemáticas, es un tipo de ciencia que puede ayudar a demostrar los teoremas e incluso en la vida diaria tiene también su utilidad pues da la capacidad de poder encontrar diferentes soluciones a los problemas que se presentan diariamente. Por medio de la lógica proposicional es posible entender y distinguir la realidad de la percepción para de esta manera lograr defender los diferentes puntos de vistas utilizando buenos argumentos.

Ejemplos

Argumento:

• Mañana es miércoles o mañana es jueves.
• Mañana no es jueves.
• Por lo tanto, mañana es miércoles.

Este es un tipo de argumento válido en la lógica proposicional y nos da a entender que es imposible que las premisas 1 y 2 pueden ser verdaderas y establece que la premisa 3 es falsa. A pesar de que el argumento es válido eso no quiere decir que la conclusión sea verdad en otras palabras podemos decir que si los permisos son falsos es probable que la conclusión también lo sea y si las premisas son verdaderas puede ser que la conclusión también sea verdadera