Números algebraicos

Dentro del conjunto de los números reales podemos encontrar diferentes tipologías de números como lo son los números racionales e irracionales, los cuales a su vez puede subdividirse en otros, entre los que podemos mencionar los números algebraicos que son el conjunto de números que aparecen como resultado de una ecuación algebraica. No pueden ser expresados en fracciones y pueden representar la raíz real de un polinomio de grado n. El uso de estos números se pueden observar los procesos de resolución de operaciones algebraicas de polinomios y en fórmulas de física cuántica y ciencias fácticas.

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¿Qué son los números algebraicos?

Los números algebraicos forman parte del conjunto de los números irracionales o racionales que resultan de la solución de una ecuación algebraica representada en números reales o complejos. Son números con decimales no periódicos como por ejemplo las raíces no exactas. Los números irracionales que no son algebraicos se llaman trascendentes.

Cuáles son los números algebraicos
Para qué sirven
Características
Historia
Cómo se representan los números algebraicos
Operaciones
Ejemplos de números algebraicos

Cuáles son los números algebraicos

Los números algebraicos son cualquier raíz real de un polinomio de grado n con coeficientes enteros. Estos pueden ser los números reales y los números complejos.

Los números imaginarios son algebraicos al igual que los números reales.

Para qué sirven

Sirven para la resolución de operaciones algebraicas como es el caso de los polinomios de grado n.

Es importante recordar que la ecuación algebraica es siempre un polinomio con coeficientes reales o complejos que se igualan a cero.

Los números algebraicos son muy utilizados en ciencias tales como la estadística, la matemática, la física, la química, la astronomía y entre otras.

Características

Entre las características de los números algebraicos podemos mencionar las siguientes:

Forman parte del conjunto de los números irracionales y de los números racionales.
Pueden ser números imaginarios.
Todos son reales y complejos.
El conjunto de números algebraico es numerable.
Los números racionales son algebraicos pero los irracionales pueden no serlo.
Son definibles.
Son contables.
Son de grado n si es raíz de una ecuación algebraica de grado n, pero no lo es de una ecuación algebraica de grado n-1.

Historia

La historia de los números algebraicos se inicia con el matemático y filosofo suizo Leonhard Euler, quien en el año 1748 plantea la división entre dos tipologías de números irracionales, los trascendentes y los algebraicos.

Algunos años más tarde, en 1844, el matemático francés Joseph Liouville desarrolló el primer criterio para determinar que un número sea algebraico y trascendente. Luego, entre los años 1874 y 1895 se amplía más la teoría de los números algebraicos gracias a los estudios llevados a cabo por el matemático alemán Richard Derekind y el ruso Yegor Zolotariov.

Según muchos matemáticos, la base de esta teoría de enteros algebraicos fue creada por el matemático alemán Karl Gauss y luego fue desarrollada y profundizada por el matemático Ernst Kummer.

Cómo se representan los números algebraicos

A diferencia de otros números complejos, los números algebraicos no tienen una letra que los represente. A pesar de no tener una letra que represente este conjunto de números, existe un elemento que si lo hace y es el polinomio. Estos polinomios pueden ser de diferentes grados igualados a cero.

Operaciones

Los números algebraicos, al ser el resultado de ecuaciones, pueden ser empleados en diferentes tipos de operaciones como la suma, la resta, la multiplicación o la división en los polinomios de grado n donde se encuentren presentes.

Es importante mencionar que la suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos siempre tendrá como resultado otro número algebraico.

Cuando un número αα que no sea cero es la solución de una ecuación anxn+⋯+a1x+a0=0anxn+⋯+a1x+a0=0

Entonces los números −α−α y 1/α1/α son raíces de las ecuaciones (−1)nanxn+⋯−a1x+a0=0(−1)nanxn+⋯−a1x+a0=0 et a0xn+⋯+an−1x+an=0a0xn+⋯+an−1x+an=0

Como consecuencia de esto, el opuesto de un número algebraico que no sea cero, es un número algebraico. Se puede demostrar que la suma y el producto de dos números algebraicos son también números algebraicos, pero que ese resultado es mucho más complejo y se suele obtener a través de la teoría de las extensiones de cuerpo.