Números complejos

Los números complejos son aquellos que forman un grupo de dígitos que resultan de la adición que se realiza entre un número real y un número imaginario. Es importante saber que el número real es el número que puede ser expresado por medio de un número entero, por ejemplo, 5, 28, 21; y el número imaginario es el número cuyo cuadrado se presenta en forma negativa. Son representados por dos números que se colocan entre paréntesis (x y y).

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Números reales

¿Qué son los números complejos?

Los números complejos son entidades de la rama de las matemáticas que se representa por medio de un par de números reales, el primero que se denomina x y representa la parte real, y el segundo, denominado y, que representa la parte imaginaria.

Cuáles son los números complejos
Para qué sirven los números complejos
Características
Historia
Cómo se representan los números complejos
Propiedades
Operaciones
Ejemplos

Cuáles son los números complejos

Están compuestos por toda la extensión de los números reales que conforman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado, esto quiere decir que están formados por todos aquellos números que pueden ser expresados por medio de los números enteros. Los números reales incluyen además, todos los números conocidos con el nombre de números complejos los cuales incluyen todas las raíces de los polinomios.

Para qué sirven los números complejos

Los números reales son incapaces de abarcar todas las raíces del conjunto de números negativos, característica que sí la pueden realizar los números complejos. Esta particularidad permite que los números complejos se utilicen en diferentes campos de las matemáticas, la ingeniería y la física matemática. Esto, porque tienen la capacidad de poder representar la corriente eléctrica y las diferentes ondas electromagnéticas. Son muy utilizados en electrónica y también en el campo de las telecomunicaciones. Son usados para diferentes trabajos algebraicos, en la matemática pura, en la solución de ecuaciones diferenciales, en la rama de la aerodinámica, hidrodinámica y en el electromagnetismo. Son esenciales en la mecánica cuántica.

Características

Entre las principales características que los números complejos poseen, podemos mencionar las siguientes:

En matemáticas constituyen un cuerpo.
Son considerados como puntos en el plano complejo.
Contiene números reales y números imaginarios
La unidad imaginaria de los números complejos se reconoce con la letra i.
Son representados por medio de la letra
El primer componente es representado con la letra a, y pertenece a la parte real, el segundo componente es representado por la letra b, y corresponde a la parte imaginaria.
No son capaces de mantener un orden como los números reales.

Historia

La primera noción que se tiene de personas que intentaron usar los números imaginarios data desde el siglo primero. El primer estudioso que hizo los primeros conceptos de números complejos fue Herón de Alejandría, e inició ante las dificultades que se le presentaron cuando intentó construir una pirámide. Una vez que los números negativos fueron «inventados», los matemáticos trataron de encontrar un número que, al cuadrado, pudiera ser igual a uno negativo. Al no encontrar una respuesta, se dieron por vencidos. En el año 1500, se volvieron a formular especulaciones sobre las raíces cuadradas de los números negativos. Se descubrieron en ese tiempo las fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de 3° y 4 ° grado, y se llegó a la conclusión de que se requeriría algún trabajo con raíces cuadradas de números negativos. En 1545, se produjo la primera gran obra con números imaginarios. Descartes, importante filósofo, matemático y físico, fue quien creó el término de número imaginario en el silo XVII y muchos años después, se formaría el concepto de número complejo.

Cómo se representan los números complejos

Los números complejos pueden ser representados en el plano complejo. La parte real del complejo se representa en el eje de abscisas y la parte imaginaria debe de ir colocada en el eje de ordenadas. En el plano complejo, a cada número complejo z = a + bi se le asigna el punto de coordenadas P (a, b), que se denomina afijo del número complejo. Todo número complejo se puede representar como un vector OP, siendo O el origen de coordenadas y P el afijo del complejo.

Propiedades

Los números completos tienen diferentes propiedades, que a continuación se detallan.

Propiedad transitiva

Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3

Propiedades de la suma

Se define la suma de dos números complejos z1=a + bi y z2=c + di como

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Entre las propiedades de la suma tenemos las siguientes:

Propiedad de cierre o cerradura para la suma: Para z1, z2 ∈ C se tiene que z1+z2∈C
Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1+z2=z2+z1
Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1+z2) + z3=z1+(z2+z3)
Existencia del elemento neutro para la suma: 0 + 0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma.
Existencia del inverso aditivo u opuesto: Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.

Propiedades de la multiplicación

Se define el producto de dos números complejos z1= a + bi y z2= c + di como

(a + bi)⋅(c + di)=(ab − bd)+(ad + bc) i

Entre las propiedades de la multiplicación tenemos las siguientes:

Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación: Para z1, z2∈C se tiene que z1⋅ z2 ∈ C
Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1⋅z2=z2⋅z1
Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1⋅z2) ⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
Existencia del elemento neutro para la multiplicación: 1 + 0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.
Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Todo número complejo z, distinta de 0, tiene un único inverso multiplicativo, denotado por z−1
Propiedad distributiva: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3