Números irracionales

En el conjunto de los números reales, se encuentran los números racionales y los irracionales. Estos últimos no pueden ser expresados como una fracción y pueden ser de dos tipos, algebraicos o trascendentales. Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados en fracciones porque contienen elementos decimales indeterminados y son utilizados en operaciones matemáticas complejas como ecuaciones algebraicas y formulas físicas.

Temas relacionados

Números algebraicos, números complejos, números enteros, números racionales, números reales

¿Qué son los números irracionales?

Los números irracionales forman parte del conjunto de números reales que no es racional, es decir no puede ser expresado como fracción. Este conjunto de números están formados por todos los números decimales cuya parte decimal posee cifras infinitas. Son representados por la letra I o con la representación R-Q ( Esta es la resta de los números reales menos los números racionales ). Pueden ser algebraicos o trascendentes.

Cuáles son los números irracionales
Para qué sirven
Características
Historia
Cómo se representan
Clasificación de los números irracionales
Operaciones
Propiedades
Ejemplos de números irracionales

Cuáles son los números irracionales

El conjunto de los números irracionales está formado por los números algebraicos y los números trascendentes.

Para qué sirven

Son utilizados para realizar operaciones en ciencias fácticas como la física, la química, la matemática entre otras.

Características

De las características más representativas de los números irracionales podemos citar las siguientes:

Forman parte del conjunto de los números reales.
Pueden ser algebraicos o trascendentes.
No pueden ser expresados como fracción.
Son representados por la letra I.
Tienen cifras decimales infinitas.
Tiene propiedades conmutativas y asociativas.
No pueden representarse como una división de dos números enteros.

Historia

Se presume que el matemático que identificó por primera vez este conjunto de números fue un discípulo de Pitágoras llamado Hipaso. Este personaje intentando describir la raíz del número 2 en forma de fracción demostró que existen números que no son racionales porque no pueden ser expresados con fracciones.

Se comenta que este descubrimiento no fue bien aceptado por Pitágoras, quién afirmaba que todos los números tienen valores perfectos. Como el maestro Pitágoras no pudo desmentir el descubrimiento de Hipaso, tiraron a Hipaso por la borda de un barco y este murió ahogado.

Existe también otra versión de la historia de los números irracionales que proviene de la Grecia Antigua. Esta afirma que en la práctica de medir longitudes de un segmento de una recta que sólo podían ser fraccionadas, los griegos identificaron números que no podrían ser fraccionados. Este descubrimiento se le atribuye a Pitágoras, al determinar la existencia de segmentos de la recta que son inconmensurables con relación a un segmento que se tome como unidad en un sistema de medición.

Cómo se representan

Son representados por la letra I mayúscula porque con la i minúscula se representan los números imaginarios. También suelen ser representados de la siguiente manera R-Q (esto quiere decir Números Reales – Números Racionales). Sin embargo, es importante mencionar que existen números irracionales que tienen sus propios símbolos. Este es el caso del número Pi o el número áureo.

Clasificación de los números irracionales

Los números irracionales están clasificados en números algebraicos y los números trascendentales.

Los números algebraicos son aquellos que provienen de resolver alguna ecuación algebraica y son números finitos de radicales libres o anidados. Ejemplo: las raíces no exactas.

Los números trascendentes son aquellos que provienen de las funciones trascendentes trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Estos números no son números finitos de radicales libres o anidados. Ejemplo: el número Pi =3.141592653589…; el número áureo= 1,618033988749…; el número de Euler = 2,718281828459…

Operaciones

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no están bien definidas porque éstas al aplicarse a números irracionales no tienden a dar como resultado números irracionales. Tomando esto en cuenta, son importantes las siguientes observaciones:

Si un número racional es sumado con uno irracional, el resultado siempre será irracional.
Si un número racional (que no sea cero) es multiplicado por un número irracional el producto será irracional.
Tiene propiedades conmutativas y asociativas.
La multiplicación es distributiva en relación a las operaciones de suma y resta.
Tiene su elemento opuesto o negativo que lo anula.

Propiedades

Los números irracionales tienen las siguientes propiedades:

Conmutativa: los números irracionales puede ser sumados o multiplicados.
Asociativa: pueden ser agrupados.
Cerrada: todo número irracional sumado, restado, multiplicado o dividido no siempre dará como resultado un número irracional. Esto no se cumple en el caso de la radicación.